BAB
I
PERTIDAKSAMAAN
1.
Definisi Pertidaksamaan
Sebuah Pertidaksamaan adalah pernyataan bahwa dua kuantitas tidak setara
nilainya. Salah satu pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau
lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda ketidaksamaan, yaitu: <, >, ≤,
atau ≥.
2.
Sifat-sifat pertidaksamaan antara lain:
(i)
Jika a
> b dan b > c, maka a > c
(ii)
(ii)
Jika a > b, maka a + c > b + c
(iii)
(iii) Jika a > b, maka a - c > b – c
(iv)
(iv)
Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc
(v)
(v)
Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc
Dengan mengganti tanda > pada
sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog
sebagai berikut :
(vi)
Jika a < b dan b < c, maka a < c
(vii)
Jika a < b, maka a + c < b + c
(viii)
Jika a < b, maka a - c < b – c
(ix)
Jika a < b dan c adalah bilangan positif,
maka ac < bc
(x)
Jika a < b dan c adalah bilangan negatif,
maka ac > bc
(xi)
xi) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau
jika a < 0 dan c < 0
(xii)
(xii) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau
jika a > 0 dan c < 0
(xiii)
(xiii) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau
jika a < 0 dan c < 0
(xiv)
(xiv) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau
jika a > 0 dan c < 0
(xv)
(xv) Jika a > b, maka –a < -b
(xvi)
(xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b
(xvii)
(xvii)
Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)
(xviii)
(xviii)
Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit)
3. Jenis
pertidaksamaan
Jenis pertidaksamaan anatara laian :
a.
Peridaksamaan
linear (PANGKAT SATU)
b.
Pertidaksamaan
kuadrat
c.
Pertidaksamaan
bentuk pecahan
d.
Pertidaksamaan
bentuk nilai mutlak ( modus)
a. Peridaksamaan
linear (PANGKAT SATU)
Pertidaksamaan linear adalah
pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier
dalam x. yang vareabelnya berderajat satu dengan menggunakan
tanda hubung “lebih besar dari” atau “kurang dari”
Sifat-sifatnya :
·
Kedua
ruas dapat di tambah atau di kurangi dengan bilangan yang sama.
·
Kedua
ruas dapat dapat dikali atau di bagi dengan bilangan positip yang sama.
·
Kedua
ruas dapat di bagi atau di kali dengan bilangan negatip yang sama maka
penyelesaiannya tidak berubah asal saja arah dari tanda pertidaksamaan di balik
Langkah – langkah menyelesaikan
pertidaksamaan linier :
1.
Pindahkan semua yang mengandung variabel ke ruas kiri,
sedangkan yang tidak mengandung variabel ke ruas kanan.
2.
Kemudian sederhanakan
Perhatikan contoh soal berikut:
1.
Contoh 1 Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x – 5 < 7x + 3 !
Jawab
5x – 5 < 7x + 3
5x – 7x < 3 + 5
- 2x < 8
x > - 4
2.
Tentukan
nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan 2(x-3) < 4x+8 ?
Jawab
Penyelesaian
2(x-3) < 4x+8
2x - 6 < 4x+8
2x – 4x< 6+8
-2x < 14
X > -7
3.
Tentukan nilai x
yang memenuhi pertidaksamaan 2x -
Jawab
Penyelesaian
2x –
8x-2 3x+8
8x-3x 8+2
5x 10
x 2
b. Pertidaksamaan
Kuadrat
Pertidaksamaan
kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum peridaksamaan kuadrat
adalah ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a
0.
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat anatara
lain:
• Jadikan ruas kanan = 0
• Jadikan koefisien x² positif (untuk
memudahkan pemfaktoran)
• Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor
linier.
• Tetapkan nilai-nilai nolnya
• Tetapkan tanda-tanda pada garis
bilangan
• Jawaban didapatkan dari hal-hal yang
ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
¨ Langkah-langkah:
¤ Tentukan batas-batasnya dengan mengubah
ke dalam persamaan kuadrat
¤ Buatlah garis bilangan dan masukkan
batas yang diperoleh (jika ada) dengan batas yang kecil di sebelah kiri
¤ Uji titik pada masing-masing daerah
¤ Tentukan HP nya
Contoh soal
1.
Contoh 1 Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
!
Jawab
( x – 2 ) ( x – 5 ) < 0
x = 2 atau x = 5 ( pembuat nol )
-
|
+
|
+
|
5
|
2
|
jadi Hp =
2.
Tentukan HP dari x2 – 2x – 8 ≥ 0
Jawab :
Batas : x2 – 2x – 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4 atau x = -2
+++ - - - - - +++
-2 4
Karena yang diminta ≥ 0 maka yang
memenuhi adalah yang bertanda positip Sehingga HP nya adalah {x | x ≤ -2 atau x
≥ 4}
c. Pertidaksamaan
bentuk pecahan
pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya
mengandung variabel x.
Langkah – langkah
menyelesaikan pertidaksamaan pecahan :
· Pindahkan semua bilangan keruas kiri,
jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
·
Sederhanakan ruas kiri.
·
Ubah bentuk
menjadi a.b
·
Tentukan pembuat nol ruas kiri.
·
Tuliskan nilai – nilai tersebut pada garis bilangan.
·
Berikan tanda pada setiap interval.
·
Samakan
penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
·
Selanjutnya,
sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan
0
Perhatikan
Contoh soal :
1.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
!
Jawab
I syarat :
X – 1
X
1
|
II.
X = -8 atau x =
1 ( pembuat nol )
|
Jadi Hp =
d. Pertidaksamaan
Nilai Mutlak
Merupakan pertidaksamaan dimana
variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Indikator : Menentukan penyelesaian
pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak
Cara mencari
penyelesaian pertidaksamaan nilai
mutlak adalah dengan menggunakan sifat berikut ini :
·
·
·
Perhatikan contoh
berikut:
Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan
!
Jawab
3x + 2 < -
5 atau 3x + 2 > 5
3x < - 7 3x > 3
x < -7/3 x > 1
Latihan
Soal.
1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 + 6x
> 3x – 9?
2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3(2 -
3x) > -5x + 8 !
3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
!
4.
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ( x + 5 ) x
2 ( x2
+2 ) !
5.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
!
6.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
!
BAB
II
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
1.
Konsep
fungsi
Fungsi
atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi
atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan
tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah suatu fungsi dari
himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A à B
Operasi
dalam Fungsi :
n Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)
n Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)
n Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)
n Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)
—
—
—
—
|
—
—
—
y
= f(x)
|
(ditunjukkan dalam gambar disamping)
A B
f : x à y = f (x) |
y = f (x) : rumus untuk fungsi f
x disebut variabel bebas
y disebut variabel tak bebas
Contoh :
Diketahi f : A à B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}
a. Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).
b. Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius.
c. Tentukan daerah hasil dari fungsi f.
Jawab :
a. f (x) = 2x – 1, maka :
f (0) = -1
f (1) = 1
f (2) = 3
f (3) = 5
f (4) = 7
b. Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1
8 y = f (x) = 2x – 1
7
5
3
1
1 2 3 4 5
-1 Daerah
asal
c. Daerah hasil fungsi f è Rf = {y | -1 £ y £ 7, y Î R}
Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :
1. f (x) =
Jawab :
f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 ¹ 0 atau x ¹ -1
Jadi Df : {x | x Î R, dan x ¹ -1}
2. g (x) =
Jawab :
g (x) = , supaya g (x) bernilai real maka :
4 – x2 ³ 0
x2 – 4 £ 0
(x-2) (x+2) £ 0 è -2 £ x £ 2
Jadi Dg = {x | -2 £ x £ 2, x Î R}
2. Pengertian fungsi komposisi
Merupakan
penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan
sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi
fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi Operasi komposisi dilambangkan dengan o
(dibaca : komposisi atau bundaran).
Misalkan: f : A ® B dan g : B ® C
Fungsi
baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan
g.
Ditulis:
h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
(gof)(x) = g(f(x)) ada
hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø
Adapun Nilai fungsi komposisi (gof)(x)
untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a)).
n
Notasi
: (f o g)(a) = f(g(a)) à fungsi yang memetakan nilai dari g(a)
ke f
Contoh :
1. Diketahui
fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut
f = {(0,1),
(2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}
Tentukanlah: a)
(f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4)
Jawab:
a) (f o g) =
{(2,1), (1,4), (5,-1)} b) (g o f) =
{(0,1), (4,3)}
c) (f o g)(1) =
4 d) (g o
f)(4)
Contoh
2. Diketahui
f : R
® R ;
f(x) = 2x² +1, g : R ® R ;
g(x) = x + 3
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19
Jawab:
(g o
f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4
(f o g)(1) =
f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33
(g o f)(1) =
g(f(1)) = g(3) = 3 + 3 = 6
3. Contoh
:
Diketahui A = {x
l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.
f : A → B dengan f(x) =
-x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan
h = g o f : A → C. Bila x di A
dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!
Jawab:
h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)2
h(x) = 64 → (-x + 1)2 =
64 ↔ -x +
1 = ± 8
-x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x
+ 1 = -8 ↔ x =
9
Karena A = {x l
x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.
Contoh
4.
Ditentukan
g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = … .
Jawab:
f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x
+ 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x + 120)
3(2x + p) + 120 = 2(3x +
120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
3p – p = 240 – 120
2p = 120 ® p = 60
3.
Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka
berlaku:
i. (fog)(x)
≠ (g o f)(x)
(tidak komutatif)
ii. ((fog)oh)(x) =
(fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)
perhatikan
contoh soal :
1. Diketahui sebuah f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 +
2, I(x) = x
Maka nilai
(f
o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
(g o
f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x
(g o
h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2)
= 3 – (x2 + 2) = 1 - x2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o
f)(x)
Kemudian
nilai
((fog)oh)(x)
= (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))=
f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2
x2
Dari
hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) =
(fo(goh))(x)
Begitu juga
(foI)(x)
= f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x)
= I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)
Sehingga perhatikan contoh soal berikut:
1. diketahui f
: R → R dan g : R → R dengan f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2
+ 5
Tentukan:
a. (g o f)(x)
b. (f o g)(x)
jawab:
f(x) =
3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
a.
(g o
f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)
= 2(3x – 1)2
+ 5
= 2(9x2
– 6x + 1) + 5
= 18x2 –
12x + 2 + 5
= 18x2 –
12x + 7
b.
f o
g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5)
= 3(2x2 + 5) – 1
= 6x2 + 15 – 1
(f o g)(x) = 6x2 + 14
(g
o f)(x) = 18x2 – 12x + 7
(g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif
4. Konsep Fungsi Invers
Ø Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan
bÎB}, maka invers dari
fungsi f adalah f-1: B ®
A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.
Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B
® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi
1-1.
Jika f : y = f(x) ® f -1 :
x = f(y)
Maka (f o f -1)(x) = (f-1
o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
Ø Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
i. f(x) = ax + b; a ≠ 0 ® f -1(x) =
; a ≠ 0
ii. f(x) =
; x ≠ -
® f -1(x) =
; x ≠
iii. f(x) = acx ; a > 0 ® f -1(x) = alog x1/c
=
alog x ; c ≠ 0
iv. f(x) = a
log cx ; a > 0; cx > 0 ® f -1(x) =
; c ≠ 0
v. f(x) =
ax²+bx+c; a≠0 ®
f -1(x)=
ingat :
Fungsi kuadrat secara umum tidak
mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.
Contoh
1. Diketahui
f: R ® R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1
(x)!
Cara 1:
Cara 1:
y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y))
2x = y + 5
2x = y + 5
x =
f -1(x) =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ax + b ® f -1(x) =
f(x) = 2x – 5 ® f -1(x) =
Contoh
2.
Diketahui
Tentukan
!
Cara 1:
y(x - 4) = 2x
+ 1
yx – 4y = 2x +
1
yx – 2x = 4y +
1
x(y – 2) = 4y
+ 1
x =
f -1(x)
=
Cara 2:
f(x) =
®
f -1(x) =
®
f -1(x) =
Contoh:
3. Jika
dan
. Tentukan nilai k!
Cara
1:
y(3x - 4) = 2x
3xy – 4y = 2x
3xy – 2x = 4y
x(3y – 2) = 4y
x =
f -1(x)
=
f -1(k)
=
1 =
3k – 2 = 4k
k = -2
Cara 2:
f -1(k) = a ® k = f(a)
® k = f(1) =
Contoh
4.
Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)!
Cara 1:
y = 52x
(ingat rumus logaritma: a n = b ® n =
)
2x =
x =
f – 1 (x)
=
Cara 2:
f(x)
= acx ® f -1(x) =
alog x
f(x)
= 52x ® f – 1 (x)
=
Contoh :
5.
Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1
(x)!
Cara 1:
y = x2
– 6x + 4
y – 4 = x2
– 6x
y – 4 = (x – 3)
2 – 9
y + 5 = (x – 3)
2
x – 3 = ±
x = 3 ±
f – 1 (x)
= 3 ±
Cara 2:
f(x)
= ax²+bx+c ® f -1(x) =
f(x)
= x2 – 6x + 4 ®
f -1(x) =
Contoh
6. Diketahui
, tentukan f – 1 (x)!
Cara 1:
y – 2 =
(y – 2)5 = 1 – x3
x3 = 1 - (y – 2)5
x =
f – 1 (x) =
Cara 2:
® f – 1 (x)
=
® f – 1 (x)
=
5.
Aplikasi fungsi komposisi
Ø Menentukan
Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x)
atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g
o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan
fungsi f(x).
Contoh
:
1. Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x)
= 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2
+ 2x – 12
g(f(x))
= 2x2 + 2x – 12
3
– 2f(x) = 2x2 + 2x – 12
-2f(x)
= 2x2 + 2x – 15
f(x) = -x2 – x + 7,5
Cara 2:
g(x) = 3 – 2x ® g -1(x)
=
f(x) = [g -1 o (g o f)](x)
f(x) =
Contoh :
2.
Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) =
, tentukan rumus fungsi g(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
Misalkan: 2x –
1 = a ® x =
g(a) =
g(a) =
=
g(x) =
Cara 2:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
g(2x-1) =
g(x) =
Cara 3:
f(x) = 2x
-1 ® f -1(x)
=
g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o
f)( f -1(x))
g(x) =
3. Diketahui f(x) = 2x + 5dan (f o g)(x) =
3x2 – 1, Tentukan g(x).
Jawab
f(x) = 2x + 5 dan
(fog)(x) = 3x2 - 1
f[g(x)] =
3x2 - 1
2.g(x) + 5 = 3x2 - 1
2.g(x) = 3x2 - 1 - 5 = 3x2 - 6
Jadi g(x) = 1/2 (3x2 - 6)
Latihan
Soal:
1.
Diketahui f(x) = 2x + 5 dan
g(x) =
, maka (fog)(x)?
2. Diketahui
fungsi-fungsi f : R ® R didefinisikan dengan f(x) = 3x
– 5, g : R ® R didefinisikan
dengan g(x) =
. Hasil dari fungsi
(f
g)(x)?
3. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R
ke R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5 dan g(x) =
. Rumus (gof)(x)?
4. Diketahui
f : R à R
didefinisikan dengan f(x) = 3x –
5, g
: R à R didefinisikan dengan
. Hasil dari fungsi (gof)(x)?
5. Jika f(x) =
dan (f
g)(x) = 2
, maka fungsi g adalah g(x)?
6. Diketahui fungsi f(x) =
, dan g(x) = x2 + x + 1. Nilai komposisi
fungsi (g o f)(2) adalah
7. Suatu pemetaan f : R ® R, g : R ® R dengan (q o f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka
f(x)?
8. Fungsi f : R ® R didefinisikan dengan
f(x) =
. Invers dari f(x) adalah
f – 1 (x)
BAB
I
PERTIDAKSAMAAN
1.
Definisi Pertidaksamaan
Sebuah Pertidaksamaan adalah pernyataan bahwa dua kuantitas tidak setara
nilainya. Salah satu pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau
lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda ketidaksamaan, yaitu: <, >, ≤,
atau ≥.
2.
Sifat-sifat pertidaksamaan antara lain:
(i)
Jika a
> b dan b > c, maka a > c
(ii)
(ii)
Jika a > b, maka a + c > b + c
(iii)
(iii) Jika a > b, maka a - c > b – c
(iv)
(iv)
Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc
(v)
(v)
Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc
Dengan mengganti tanda > pada
sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog
sebagai berikut :
(vi)
Jika a < b dan b < c, maka a < c
(vii)
Jika a < b, maka a + c < b + c
(viii)
Jika a < b, maka a - c < b – c
(ix)
Jika a < b dan c adalah bilangan positif,
maka ac < bc
(x)
Jika a < b dan c adalah bilangan negatif,
maka ac > bc
(xi)
xi) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau
jika a < 0 dan c < 0
(xii)
(xii) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau
jika a > 0 dan c < 0
(xiii)
(xiii) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau
jika a < 0 dan c < 0
(xiv)
(xiv) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau
jika a > 0 dan c < 0
(xv)
(xv) Jika a > b, maka –a < -b
(xvi)
(xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b
(xvii)
(xvii)
Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)
(xviii)
(xviii)
Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit)
3. Jenis
pertidaksamaan
Jenis pertidaksamaan anatara laian :
a.
Peridaksamaan
linear (PANGKAT SATU)
b.
Pertidaksamaan
kuadrat
c.
Pertidaksamaan
bentuk pecahan
d.
Pertidaksamaan
bentuk nilai mutlak ( modus)
a. Peridaksamaan
linear (PANGKAT SATU)
Pertidaksamaan linear adalah
pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier
dalam x. yang vareabelnya berderajat satu dengan menggunakan
tanda hubung “lebih besar dari” atau “kurang dari”
Sifat-sifatnya :
·
Kedua
ruas dapat di tambah atau di kurangi dengan bilangan yang sama.
·
Kedua
ruas dapat dapat dikali atau di bagi dengan bilangan positip yang sama.
·
Kedua
ruas dapat di bagi atau di kali dengan bilangan negatip yang sama maka
penyelesaiannya tidak berubah asal saja arah dari tanda pertidaksamaan di balik
Langkah – langkah menyelesaikan
pertidaksamaan linier :
1.
Pindahkan semua yang mengandung variabel ke ruas kiri,
sedangkan yang tidak mengandung variabel ke ruas kanan.
2.
Kemudian sederhanakan
Perhatikan contoh soal berikut:
1.
Contoh 1 Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x – 5 < 7x + 3 !
Jawab
5x – 5 < 7x + 3
5x – 7x < 3 + 5
- 2x < 8
x > - 4
2.
Tentukan
nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan 2(x-3) < 4x+8 ?
Jawab
Penyelesaian
2(x-3) < 4x+8
2x - 6 < 4x+8
2x – 4x< 6+8
-2x < 14
X > -7
3.
Tentukan nilai x
yang memenuhi pertidaksamaan 2x -
Jawab
Penyelesaian
2x –
8x-2 3x+8
8x-3x 8+2
5x 10
x 2
b. Pertidaksamaan
Kuadrat
Pertidaksamaan
kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum peridaksamaan kuadrat
adalah ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a
0.
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat anatara
lain:
• Jadikan ruas kanan = 0
• Jadikan koefisien x² positif (untuk
memudahkan pemfaktoran)
• Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor
linier.
• Tetapkan nilai-nilai nolnya
• Tetapkan tanda-tanda pada garis
bilangan
• Jawaban didapatkan dari hal-hal yang
ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
¨ Langkah-langkah:
¤ Tentukan batas-batasnya dengan mengubah
ke dalam persamaan kuadrat
¤ Buatlah garis bilangan dan masukkan
batas yang diperoleh (jika ada) dengan batas yang kecil di sebelah kiri
¤ Uji titik pada masing-masing daerah
¤ Tentukan HP nya
Contoh soal
1.
Contoh 1 Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
!
Jawab
( x – 2 ) ( x – 5 ) < 0
x = 2 atau x = 5 ( pembuat nol )
-
|
+
|
+
|
5
|
2
|
jadi Hp =
2.
Tentukan HP dari x2 – 2x – 8 ≥ 0
Jawab :
Batas : x2 – 2x – 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4 atau x = -2
+++ - - - - - +++
-2 4
Karena yang diminta ≥ 0 maka yang
memenuhi adalah yang bertanda positip Sehingga HP nya adalah {x | x ≤ -2 atau x
≥ 4}
c. Pertidaksamaan
bentuk pecahan
pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya
mengandung variabel x.
Langkah – langkah
menyelesaikan pertidaksamaan pecahan :
· Pindahkan semua bilangan keruas kiri,
jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
·
Sederhanakan ruas kiri.
·
Ubah bentuk
menjadi a.b
·
Tentukan pembuat nol ruas kiri.
·
Tuliskan nilai – nilai tersebut pada garis bilangan.
·
Berikan tanda pada setiap interval.
·
Samakan
penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
·
Selanjutnya,
sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan
0
Perhatikan
Contoh soal :
1.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
!
Jawab
I syarat :
X – 1
X
1
|
II.
X = -8 atau x =
1 ( pembuat nol )
|
Jadi Hp =
d. Pertidaksamaan
Nilai Mutlak
Merupakan pertidaksamaan dimana
variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Indikator : Menentukan penyelesaian
pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak
Cara mencari
penyelesaian pertidaksamaan nilai
mutlak adalah dengan menggunakan sifat berikut ini :
·
·
·
Perhatikan contoh
berikut:
Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan
!
Jawab
3x + 2 < -
5 atau 3x + 2 > 5
3x < - 7 3x > 3
x < -7/3 x > 1
Latihan
Soal.
1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 + 6x
> 3x – 9?
2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3(2 -
3x) > -5x + 8 !
3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
!
4.
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ( x + 5 ) x
2 ( x2
+2 ) !
5.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
!
6.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
!
BAB
II
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
1.
Konsep
fungsi
Fungsi
atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi
atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan
tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah suatu fungsi dari
himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A à B
Operasi
dalam Fungsi :
n Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)
n Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)
n Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)
n Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)
—
—
—
—
|
—
—
—
y
= f(x)
|
(ditunjukkan dalam gambar disamping)
A B
f : x à y = f (x) |
y = f (x) : rumus untuk fungsi f
x disebut variabel bebas
y disebut variabel tak bebas
Contoh :
Diketahi f : A à B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}
a. Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).
b. Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius.
c. Tentukan daerah hasil dari fungsi f.
Jawab :
a. f (x) = 2x – 1, maka :
f (0) = -1
f (1) = 1
f (2) = 3
f (3) = 5
f (4) = 7
b. Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1
8 y = f (x) = 2x – 1
7
5
3
1
1 2 3 4 5
-1 Daerah
asal
c. Daerah hasil fungsi f è Rf = {y | -1 £ y £ 7, y Î R}
Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :
1. f (x) =
Jawab :
f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 ¹ 0 atau x ¹ -1
Jadi Df : {x | x Î R, dan x ¹ -1}
2. g (x) =
Jawab :
g (x) = , supaya g (x) bernilai real maka :
4 – x2 ³ 0
x2 – 4 £ 0
(x-2) (x+2) £ 0 è -2 £ x £ 2
Jadi Dg = {x | -2 £ x £ 2, x Î R}
2. Pengertian fungsi komposisi
Merupakan
penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan
sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi
fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi Operasi komposisi dilambangkan dengan o
(dibaca : komposisi atau bundaran).
Misalkan: f : A ® B dan g : B ® C
Fungsi
baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan
g.
Ditulis:
h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
(gof)(x) = g(f(x)) ada
hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø
Adapun Nilai fungsi komposisi (gof)(x)
untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a)).
n
Notasi
: (f o g)(a) = f(g(a)) à fungsi yang memetakan nilai dari g(a)
ke f
Contoh :
1. Diketahui
fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut
f = {(0,1),
(2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}
Tentukanlah: a)
(f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4)
Jawab:
a) (f o g) =
{(2,1), (1,4), (5,-1)} b) (g o f) =
{(0,1), (4,3)}
c) (f o g)(1) =
4 d) (g o
f)(4)
Contoh
2. Diketahui
f : R
® R ;
f(x) = 2x² +1, g : R ® R ;
g(x) = x + 3
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19
Jawab:
(g o
f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4
(f o g)(1) =
f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33
(g o f)(1) =
g(f(1)) = g(3) = 3 + 3 = 6
3. Contoh
:
Diketahui A = {x
l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.
f : A → B dengan f(x) =
-x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan
h = g o f : A → C. Bila x di A
dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!
Jawab:
h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)2
h(x) = 64 → (-x + 1)2 =
64 ↔ -x +
1 = ± 8
-x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x
+ 1 = -8 ↔ x =
9
Karena A = {x l
x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.
Contoh
4.
Ditentukan
g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = … .
Jawab:
f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x
+ 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x + 120)
3(2x + p) + 120 = 2(3x +
120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
3p – p = 240 – 120
2p = 120 ® p = 60
3.
Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka
berlaku:
i. (fog)(x)
≠ (g o f)(x)
(tidak komutatif)
ii. ((fog)oh)(x) =
(fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)
perhatikan
contoh soal :
1. Diketahui sebuah f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 +
2, I(x) = x
Maka nilai
(f
o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
(g o
f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x
(g o
h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2)
= 3 – (x2 + 2) = 1 - x2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o
f)(x)
Kemudian
nilai
((fog)oh)(x)
= (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))=
f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2
x2
Dari
hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) =
(fo(goh))(x)
Begitu juga
(foI)(x)
= f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x)
= I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)
Sehingga perhatikan contoh soal berikut:
1. diketahui f
: R → R dan g : R → R dengan f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2
+ 5
Tentukan:
a. (g o f)(x)
b. (f o g)(x)
jawab:
f(x) =
3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
a.
(g o
f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)
= 2(3x – 1)2
+ 5
= 2(9x2
– 6x + 1) + 5
= 18x2 –
12x + 2 + 5
= 18x2 –
12x + 7
b.
f o
g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5)
= 3(2x2 + 5) – 1
= 6x2 + 15 – 1
(f o g)(x) = 6x2 + 14
(g
o f)(x) = 18x2 – 12x + 7
(g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif
4. Konsep Fungsi Invers
Ø Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan
bÎB}, maka invers dari
fungsi f adalah f-1: B ®
A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.
Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B
® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi
1-1.
Jika f : y = f(x) ® f -1 :
x = f(y)
Maka (f o f -1)(x) = (f-1
o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
Ø Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
i. f(x) = ax + b; a ≠ 0 ® f -1(x) =
; a ≠ 0
ii. f(x) =
; x ≠ -
® f -1(x) =
; x ≠
iii. f(x) = acx ; a > 0 ® f -1(x) = alog x1/c
=
alog x ; c ≠ 0
iv. f(x) = a
log cx ; a > 0; cx > 0 ® f -1(x) =
; c ≠ 0
v. f(x) =
ax²+bx+c; a≠0 ®
f -1(x)=
ingat :
Fungsi kuadrat secara umum tidak
mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.
Contoh
1. Diketahui
f: R ® R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1
(x)!
Cara 1:
Cara 1:
y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y))
2x = y + 5
2x = y + 5
x =
f -1(x) =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ax + b ® f -1(x) =
f(x) = 2x – 5 ® f -1(x) =
Contoh
2.
Diketahui
Tentukan
!
Cara 1:
y(x - 4) = 2x
+ 1
yx – 4y = 2x +
1
yx – 2x = 4y +
1
x(y – 2) = 4y
+ 1
x =
f -1(x)
=
Cara 2:
f(x) =
®
f -1(x) =
®
f -1(x) =
Contoh:
3. Jika
dan
. Tentukan nilai k!
Cara
1:
y(3x - 4) = 2x
3xy – 4y = 2x
3xy – 2x = 4y
x(3y – 2) = 4y
x =
f -1(x)
=
f -1(k)
=
1 =
3k – 2 = 4k
k = -2
Cara 2:
f -1(k) = a ® k = f(a)
® k = f(1) =
Contoh
4.
Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)!
Cara 1:
y = 52x
(ingat rumus logaritma: a n = b ® n =
)
2x =
x =
f – 1 (x)
=
Cara 2:
f(x)
= acx ® f -1(x) =
alog x
f(x)
= 52x ® f – 1 (x)
=
Contoh :
5.
Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1
(x)!
Cara 1:
y = x2
– 6x + 4
y – 4 = x2
– 6x
y – 4 = (x – 3)
2 – 9
y + 5 = (x – 3)
2
x – 3 = ±
x = 3 ±
f – 1 (x)
= 3 ±
Cara 2:
f(x)
= ax²+bx+c ® f -1(x) =
f(x)
= x2 – 6x + 4 ®
f -1(x) =
Contoh
6. Diketahui
, tentukan f – 1 (x)!
Cara 1:
y – 2 =
(y – 2)5 = 1 – x3
x3 = 1 - (y – 2)5
x =
f – 1 (x) =
Cara 2:
® f – 1 (x)
=
® f – 1 (x)
=
5.
Aplikasi fungsi komposisi
Ø Menentukan
Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x)
atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g
o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan
fungsi f(x).
Contoh
:
1. Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x)
= 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2
+ 2x – 12
g(f(x))
= 2x2 + 2x – 12
3
– 2f(x) = 2x2 + 2x – 12
-2f(x)
= 2x2 + 2x – 15
f(x) = -x2 – x + 7,5
Cara 2:
g(x) = 3 – 2x ® g -1(x)
=
f(x) = [g -1 o (g o f)](x)
f(x) =
Contoh :
2.
Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) =
, tentukan rumus fungsi g(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
Misalkan: 2x –
1 = a ® x =
g(a) =
g(a) =
=
g(x) =
Cara 2:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
g(2x-1) =
g(x) =
Cara 3:
f(x) = 2x
-1 ® f -1(x)
=
g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o
f)( f -1(x))
g(x) =
3. Diketahui f(x) = 2x + 5dan (f o g)(x) =
3x2 – 1, Tentukan g(x).
Jawab
f(x) = 2x + 5 dan
(fog)(x) = 3x2 - 1
f[g(x)] =
3x2 - 1
2.g(x) + 5 = 3x2 - 1
2.g(x) = 3x2 - 1 - 5 = 3x2 - 6
Jadi g(x) = 1/2 (3x2 - 6)
Latihan
Soal:
1.
Diketahui f(x) = 2x + 5 dan
g(x) =
, maka (fog)(x)?
2. Diketahui
fungsi-fungsi f : R ® R didefinisikan dengan f(x) = 3x
– 5, g : R ® R didefinisikan
dengan g(x) =
. Hasil dari fungsi
(f
g)(x)?
3. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R
ke R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5 dan g(x) =
. Rumus (gof)(x)?
4. Diketahui
f : R à R
didefinisikan dengan f(x) = 3x –
5, g
: R à R didefinisikan dengan
. Hasil dari fungsi (gof)(x)?
5. Jika f(x) =
dan (f
g)(x) = 2
, maka fungsi g adalah g(x)?
6. Diketahui fungsi f(x) =
, dan g(x) = x2 + x + 1. Nilai komposisi
fungsi (g o f)(2) adalah
7. Suatu pemetaan f : R ® R, g : R ® R dengan (q o f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka
f(x)?
8. Fungsi f : R ® R didefinisikan dengan
f(x) =
. Invers dari f(x) adalah
f – 1 (x)
0 komentar:
Posting Komentar